Question

已知△ABC中，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)；且

m

•

n

=1．
（1）求角A；
（2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=

3

，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，直接计算，根据A是三角形内角，求角A；
（2）用a=

3

和A，求出三角形外接圆直径，写出三角形面积表达式，然后利用积化和差公式，化简表达式，求△ABC的面积的最大值．

解答：解：（1）

m

•

n

=1=-cosA+

3

sinA，
所以  sin（A-

π

6

）=

1

2

因为A 是三角形内角，所以A=

π

3

（2）三角形ABC的外接圆的半径为R，所以 2R=

3

sin π 3

=2，
S=

1

2

bcsinA=

1

2

2R×2R×sinAsinBsinC
=

3

2

[cos(B-C)-cos(B+C)]
=

3

2

cos(B-C)+

3

4

当B=C时，S取得最大值，最大值是：

3 3

4

点评：本题考查平面向量数量积的运算，积化和差公式，正弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．