【题目】如图,在四棱锥中,四边形为菱形, , 底面, 为直线上一动点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若, 分别为线段, 的中点,求证: 平面;
(Ⅲ)直线上是否存在点,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)答案见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ) 连,由菱形可得.又由平面,可得,从而可得平面,可证得. (Ⅱ) 取的中点,连, ,由题意可得, ,故四边形为平行四边形,所以,由线面平行的判定定理可得平面. (Ⅲ)先假设存在满足条件的点.再进行推理,即过作的延长线于,连.可证得中, , ,所以,从而.
试题解析:
(Ⅰ)证明:连结,
因为四边形为菱形,
所以.
因为平面, 平面,
所以.
又,
所以平面.
又平面,
所以.
(Ⅱ)证明:取的中点,连, .
因为为线段中点,
所以, .
因为四边形为菱形, 为线段的中点,
所以, .
所以, .
故四边形为平行四边形,
所以.
又因为平面, 平面,
所以平面.
(Ⅲ)解:直线上存在点,使得平面平面,且.理由如下:
如图,过作的延长线于,连.
因为菱形中,
所以.
因为底面, 平面,
所以.
又,
所以平面.
又因为平面,
故平面平面.
因为在中, , ,
所以.
故直线上存在点,使得平面平面,且.
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【题目】已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点在抛物线上.
(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程;
(2)过点作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同的两点,求证:直线的斜率是一个定值.
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【题目】下列命题:
①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在△ABC中,AB=2,cosB= ,点D在线段BC上.
(1)若∠ADC= π,求AD的长;
(2)若BD=2DC,△ACD的面积为 ,求 的值.
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【题目】有下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适;
②用相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说明模型的拟合效果越好;
③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好.
④在研究气温和热茶销售杯数的关系时,若求得相关指数R2≈0.85,则表明气温解释了15%的热茶销售杯数变化.
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】定义:max{a,b}= ,若实数x,y满足:|x|≤3,|y|≤3,﹣4x≤y≤ x,则max{|3x﹣y|,x+2y}的取值范围是( )
A.[ ,7]
B.[0,12]
C.[3, ]
D.[0,7]
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的右顶点与上顶点分别为,椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,若直线与该椭圆交于两点,直线的斜率互为相反数.
①求证:直线的斜率为定值;
②若点在第一象限,设与的面积分别为,求的最大值.
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【题目】已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,半径小于5.
(Ⅰ)求直线PQ与圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l∥PQ,直线l与圆C交于点A,B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.
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