Question

5．已知$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}-\frac{1}{2}$，若[x]是不超过x的最大整数，则函数y=[f（x）]-[f（-x）]的值域为（　　）

• A． [-1，0]
• B． {-1，1}
• C． {-1，0，1}
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 分离常数便可得到$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}，f（-x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$，根据2^x＞0，从而可以求出$\frac{1}{1+{2}^{x}}$的范围，进一步便可得到$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$，这样根据[x]的定义便可分：$-\frac{1}{2}＜f（x）＜0$，f（x）=0和$0＜f（x）＜\frac{1}{2}$三种情况求出[f（x）]和[f（-x）]，从而可以得出y值，这样即可求出函数y=[f（x）]-[f（-x）]的值域．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}$，$f（-x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$；
2^x＞0；
∴$0＜\frac{1}{1+{2}^{x}}＜1$；
∴$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}＜f（-x）＜\frac{1}{2}$；
∴①$-\frac{1}{2}＜f（x）＜0$时，$-\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}＜0$；
$0＜-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}＜\frac{1}{2}$；
即$0＜f（-x）＜\frac{1}{2}$；
∴[f（x）]=-1，[f（-x）]=0；
∴[f（x）]-[f（-x）]=-1；
②f（x）=0时，$\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}=0$；
∴f（-x）=0；
∴[f（x）]=0，[f（-x）]=0；
∴[f（x）]-[f（-x）]=0；
③$0＜f（x）＜\frac{1}{2}$时，$0＜\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}＜\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}＜0$；
即$-\frac{1}{2}＜f（-x）＜0$；
∴[f（x）]=0，[f（-x）]=-1；
∴[f（x）]-[f（-x）]=0-（-1）=1；
∴综上得，函数y=[f（x）]-[f（-x）]的值域为{-1，0，1}．
故选：C．

点评 考查函数值域的概念，指数函数的值域，根据不等式的性质求函数的取值范围的方法，理解[x]的定义．