Question

5．方程（x²⁰¹⁴+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹²）=2014x²⁰¹³的实数解x的个数为1．

Answer 1

分析 将方程等价变形，利用基本不等式，结合等号成立的条件，即可求得结论．

解答 解：方程（x²⁰¹⁴+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹²）=2014x²⁰¹³等价于 （x+$\frac{1}{{x}^{2013}}$）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹²）=2014，
等价于x+x³+x⁵+…+x²⁰¹³ +$\frac{1}{{x}^{2013}}$+$\frac{1}{{x}^{2011}}$+$\frac{1}{{x}^{2009}}$+…+$\frac{1}{x}$=2014，
故x＞0，否则左边＜0．
所以2014=（x+$\frac{1}{x}$ ）+（x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$）+…+（x²⁰¹³+$\frac{1}{{x}^{2013}}$ ）≥2×1007=2014．
等号当且仅当x=1时成立．所以x=1是原方程的全部解．
因此原方程的实数解个数为1，
故答案为：1．

点评 本题考查函数与方程思想，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．