Question

已知：函数f（x）=x²-bx+c，若f（1-x）=f（1+x），且f（0）=3，
（1）求：b、c的值；
（2）试比较f（b^m）与f（c^m）（m∈R）的大小．

Answer 1

分析：（1）利用已知f（0）=3，求出c的值；利用f（1-x）=f（1+x），得到x=1为图象的对称轴，从而求出b的值．
（2）通过对m的分类讨论得到b^m与c^m及对称轴的大小关系，利用二次函数的单调性得到f（b^m）与f（c^m）（m∈R）的大小．

解答：解：（1）∵f（0）=3，
∴c=3，…（1分）
∵f（1-x）=f（1+x），
∴x=1为图象的对称轴，
∴b=2，…（3分）
∴f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2…（4分）
（2）当m＜0时，
∵3^m＜2^m＜1，
∴f（3^m）＞f（2^m）；            …（6分）
当m=0时，
∵3^m=2^m=1，
∴f（3^m）=f（2^m）；           …（7分）
当m＞0时，
∵3^m＞2^m＞1，
∴f（3^m）＞f（2^m）；           …（8分）
综上所述：f（3^m）≥f（2^m）．                           …（10分）

点评：解决二次函数的问题，应该利用对称轴的公式求出二次函数的对称轴，根据对称轴进一步得到二次函数的单调性再解决．