Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D是侧棱的中点．
（I ）求证：平面ADC₁丄平面ACC₁A₁；
（II）求平面ADC₁与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据几何体的结构特征得到线面的有关位置关系，即利用线线垂直证明线面垂直再利用直线在另一个平面内进而证明面面垂直．
（II）先由其中一个平面内的一点作另一个平面的垂线，作交线的垂线即作出二面角的平面角，再证明此角是所求交，然后利用解三角形的有关知识解决问题即可．
解答：解：（I）证明：设AC、A₁C₁的中点分别为N、N₁，连接NN1交AC₁于M，连接MD，则NN₁与CC₁平行而且相等，
由已知可得MN=BD，所以BDMN是矩形，
所以DM∥BN．
因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BN⊥AC，
所以BN⊥平面ACC₁A₁．
所以DM⊥平面ACC₁A₁，
因为DM?平面ADC₁，
所以平面ADC₁⊥平面ACC₁A₁．
（II）因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以△ABC是△ADC₁在平面ABC内的射影．
设平面ADC1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小等于θ，则cosθ=
由已知得，DM=BN=，AC1=，
所以，
所以cosθ==，（θ为锐角）
所以．
所以平面ADC₁与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为．
点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，根据特征得到线面垂直的有关结论，并且解决二面角的平面角．