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2.已知关于x的二次函数f(x)=ax2-2bx+1,设点(a,b)是区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$内的随机点,则函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率是(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{8}$C.$\frac{7}{16}$D.$\frac{2}{3}$

分析 首先画出可行域,求出面积,计算满足函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上的增函数的a,b满足区域的面积,利用几何概型公式得到所求.

解答 解:点(a,b)对应的平面区域$\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x+1≥0\\ y+1≥0\end{array}\right.$,
表示一个直角三角形ACF,面积为$\frac{1}{2}$×4×4=8,
f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,且a>0,则对称轴$\frac{b}{a}$≤1,
此时满足条件的点在如图所示的阴影部分:

阴影部分的面积为四边形BCEG的面积是$\frac{7}{2}$,
故满足条件的概率p=$\frac{\frac{7}{2}}{8}$=$\frac{7}{16}$,
故选:C.

点评 本题考查了简单线性规划问题与几何概型的综合考查;正确画出区域,利用面积比求概率是关键.

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