Question

【题目】已知三棱锥中，平面平面， 则三棱锥的外接球的表面积为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用已知三棱锥A﹣BCD的特点AB＝AD，先确定△ABD的外心O，及外接圆的半径，然后证明O也是三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，从而得到外接球的半径，即可得到外接球表面积．

如图取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD．

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD，

又∵CE平面BCD，∴AE⊥CE．

设△ABD的外接圆的圆心为O，半径为r．

∵AB＝AD，∴圆心O在AE所在的直线上．

∴r2＝BE2+OE2＝BE2+（r﹣AE）2．

∵在Rt△BCD中，BD＝＝4，∴BE＝EC＝2．

∴在Rt△ABE中，AE＝＝2．∴r2＝8+（r﹣2）2，解得r＝3，∴OE＝1．

在Rt△OEC中，OC＝＝3，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3．

∴点O是三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，且球半径R＝3．

∴球的表面积S＝4πR2＝36π．

故答案为：36π