Question

3．等比数列{a_n}的公比不为1，若a₁=1，且对任意的n∈N^*，都有a_n+1、a_n、a_n+2成等差数列，则{a_n}的前5项和S₅=11．

Answer 1

分析 运用等差数列的性质可得2a_n=a_n+1+a_n+2，令n=1可得a₃+a₂-2a₁=0，设公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得q，再由等比数列的求和公式，计算可得前5项和S₅．

解答 解：对任意的n∈N^*，都有a_n+1、a_n、a_n+2成等差数列，
即有2a_n=a_n+1+a_n+2，
令n=1可得a₃+a₂-2a₁=0，设公比为q，
则a₁（q²+q-2）=0．
由q²+q-2=0解得q=-2或q=1（舍去），
则S₅=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}$=$\frac{1-（-2）^{5}}{1-（-2）}$=11．
故答案为：11．

点评 本题考查等比数列和等差数列的通项、性质以及求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．