Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，AB=2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B为直二面角．
（1）若F、G分别为A′D、EB的中点，求证：FG∥平面A′BC；
（2）求二面角D-A′B-C度数的余弦值

Answer 1

分析：（1）F、G分别为A′D、EB的中点，要证FG∥平面A′BC，只需证明直线FG平行平面A′BC内的直线BP即可；
（2）要求二面角D-A′B-C度数的余弦值，只需求D-A′B-E的正弦值即可．

解答：证明：（1）取A′C的中点P，连接PF，BP；
因为F、G分别为A′D、EB的中点，PF∥CD，
且是CD的一半，BG∥CD，也是CD的一半，
所以四边形FPBG是平行四边形，所以PB∥FG，PB?平面A′BC，
则FG∥平面A′BC；

（2）将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使二面角A′-DE-B为直二面角．
所以BC⊥平面A′BE，所以二面角D-A′B-C和D-A′B-E的和是90°
过E作ES⊥A′B于S连接SD，则∠DSE为二面角D-A′B-E的平面角，
所以ES=

2

2

，SD=

1+( 2 2 )2

=

6

2

∴sin∠DSE=

1

6 2

=

6

3

二面角D-A′B-C和D-A′B-E的和是90°
所以二面角D-A′B-C度数的余弦值为

6

3

点评：本题考查直线与平面平行的判定，额面积的求法，考查空间想象能力 逻辑思维能力，是中档题．