Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）证明平面PAB⊥平面PCB，只需证明平面PCB内的直线BC，垂直平面PAB内的两条相交直线PA，AB，即可证明BC⊥平面PAB，就证明了平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）证明平面EAC外的直线PD，平行平面EAC内的直线EM，即可证明PD∥平面EAC；
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，．说明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角，解Rt△AHN，求二面角A-EC-P的大小．
法二：（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，通过向量计算，说明

PE

EB

=

DM

MB

，从而证明PD∥EM．PD?平面EAC，EM?平面EAC，PD∥平面EAC．
（Ⅲ）求出平面EAC的一个法向量

n1

，平面EBC的一个法向量

n2

，利用cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

6

，求二面角A-EC-P的大小．

解答：证明：
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．（2分）
又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，

∴AC为PC在平面ABCD内的射影．
又∵PC⊥AD，
∴AC⊥AD．（5分）
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=

π

4

，
∴∠DCA=∠BAC=

π

4

．
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=

2

AC=

2

(

2

AB)=2AB．
连接BD，交AC于点M，则

DM

MB

=

DC

AB

=2．（7分）
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，
∴PD∥EM
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB．
∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，

∴AN⊥平面PBC．
在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE．
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角．（12分）
在Rt△PBC中，设CB=a，则PB=

PA2+AB2

=

2

a，BE=

1

3

PB=

2

3

a，NE=

1

6

PB=

2

6

a，CE=

CB2+BE2

=

11

3

a，
由NH⊥CE，EB⊥CB可知：△NEH∽△CEB，
∴

NH

NE

=

CB

CE

．
代入解得：NH=

a

22

．
在Rt△AHN中，AN=

2

2

a，∴tanAHN=

AN

NH

=

11

（13分）
即二面角A-CE-P的大小为arctan

11

．（14分）
解法二：
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．

设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E(0，

2a

3

，

a

3

)．（5分）
设D（a，y，0），则

CP

=(-a，-a，a)，

AD

=(a，y，0)，∵CP⊥AD，
∴

CP

•

AD

=-a2-ay=0，解得：y=-a．∴DC=2AB．
连接BD，交AC于点M，
则

DM

MB

=

DC

AB

=2．（7分）
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，
∴PD∥EM．
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）设

n1

=（x，y，1）为平面EAC的一个法向量，则

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

AE

∴

ax+ay=0 2ay 3 + a 3 =0.

解得：x=

1

2

，y=-

1

2

，∴

n1

=(

1

2

，-

1

2

，1)．（11分）
设

n2

=（x'，y'，1）为平面EBC的一个法向量，则

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

BE

，
又

BC

=(a，0，0)，

BE

=(0，-

a

3

，

a

3

)，∴

ax′=0 -ay′ 3 + a 3 =0

解得：x'=0，y'=1，∴

n2

=（0，1，1）．（12分）cos?

n1

， 

n2

＞=

n1 •  n2

| n1 ||  n2 |

=

3

6

（13分）
∴二面角A-CE-P的大小为arccos

3

6

．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．