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数列{a_n}是公比大于1的等比数列，a₂=6，S₃=26．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列．设第n个等差数列的前n项和是A_n．求关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

解：（1）设公比为q，由，a₂=6，S₃=26 可得 $\text{[math]}$ ，解得q=3，或 q= $\text{[math]}$ ，再由q＞1可得q=3，∴a₁=2，a_n=2×3^n-1．
（2）由等差数列的通项公式可得 2×3ⁿ=2×3^n-1+（n+1）•d_n，∴d_n= $\text{[math]}$ ，
∴A_n=n 2×3^n-1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立，∴g（n）=n²．
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中若存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，
则有 $\text{[math]}$ =d_m•d_p，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
这与d_m，d_k，d_p是不同的三项相矛盾，故不存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列．
分析：（1）设公比为q，由，a₂=6，S₃=26 求得q=3，从而求得 a₁=2，由此求出等比数列的通项公式．
（2）由等差数列的通项公式求得 d_n= $\text{[math]}$ ，利用等差数列的前n项和公式求得可得 A_n= $\text{[math]}$ ，再由 A_n=g（n）d_n对任意n∈N₊恒成立，求得 g（n）．再由 $\text{[math]}$ =d_m•d_p，求得 m=k=p，这与d_m，d_k，d_p是不同的三项相矛盾，由此得出结论．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题．

练习册系列答案

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=3，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列；
（Ⅲ）（理科）在（Ⅰ）的条件下，求使不等式(1+

)(1+

)…(1+

)≥p

2n+1

对一切n∈N^*均成立的最大实数p．

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