Question

（如图）过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）设M的左特征点
因为，椭圆的左焦点F（-2，0），
可设直线AB的方程为x=ky-2（k≠0）
代入，得：（ky-2）y²+5y²=5，
即（k²+5）y²-4ky-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得，
由于，∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即y₁（x₂-m）+y₂（x₁-m）=0，即y₁（ky₂-2）+y₂（ky₁-2）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+2）=0
于是，
因为k≠0，所以1+2（m+2）=0，即
（2）对于椭圆，，
于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点
证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A、B分别作l的垂线，
垂足为C、D．
据椭圆的第二定义：
由于AC∥FM∥BD，所以
于是
所以，∠AMC=∠BMD?∠AMF=∠BMF
则MF为∠AMB的平分线
故M为椭圆的“左特征点”．
分析：（1）设M的左特征点，由椭圆左焦点F（-2，0），可设直线AB方程为x=ky-2（k≠0），代入，得（k²+5）y²-4ky-1=0，由∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即整理可求．
（2）对于椭圆，，结合椭圆的性质特征可猜想：椭圆的左特征点是椭圆的左准线与x轴的交点，然后可以利用第二定义给与证明．
点评：本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky-2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．