Question

7．解下列方程：
（1）$\frac{[x]}{x}$=$\frac{x}{[x]}$，x＞0；
（2）[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$；
（3）x²-8[x]+7=0；
（4）[x]+[2x]=18．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{[x]}{x}$=$\frac{x}{[x]}$，x＞0，化为[x]=x，即可解出；
（2）[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$，化为[3x]+1=2x-$\frac{1}{2}$，[3x]=2x-$\frac{3}{2}$≤3x，解得x≥$-\frac{3}{2}$．记[3x]=2x-$\frac{3}{2}$（*）．分类讨论：当-$\frac{3}{2}$≤x＜-$\frac{4}{3}$时；当-$\frac{4}{3}$≤x＜-1时；当-1≤x＜-$\frac{2}{3}$时，当-$\frac{2}{3}$≤x＜-$\frac{1}{3}$时，当$-\frac{1}{3}$≤x＜0时，当x∈$[\frac{n}{3}，\frac{n+1}{3}）$时（n∈N），即可得出；
（3）x²-8[x]+7=0化为x²+7=8[x]≤8x，解得1≤x≤7．化为[x]=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$，分类讨论：当x∈[1，2）时，当x∈[3，4）时，…，当x∈[6，7）时，当x=7时，解出即可．
（4）由于2[x]≤[2x]≤2[x]+1，可得$\frac{17}{3}$≤[x]≤6，解出并验证即可得出．

解答 解：（1）$\frac{[x]}{x}$=$\frac{x}{[x]}$，x＞0，∴[x]=x，∴x=n∈N^*；
（2）[3x+1]=2x-$\frac{1}{2}$，化为[3x]+1=2x-$\frac{1}{2}$，∴[3x]=2x-$\frac{3}{2}$≤3x，解得x≥$-\frac{3}{2}$．
记[3x]=2x-$\frac{3}{2}$（*）．
当-$\frac{3}{2}$≤x＜-$\frac{4}{3}$时，（*）化为：-5=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{7}{4}$，不满足条件，舍去；
当-$\frac{4}{3}$≤x＜-1时，（*）化为：-4=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{5}{4}$，满足条件，因此x=-$\frac{5}{4}$为方程的一个解；
当-1≤x＜-$\frac{2}{3}$时，（*）化为：-3=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{3}{4}$，满足条件，因此x=-$\frac{3}{4}$为方程的一个解；
当-$\frac{2}{3}$≤x＜-$\frac{1}{3}$时，（*）化为：-2=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{1}{4}$，舍去；
当$-\frac{1}{3}$≤x＜0时，（*）化为：-1=2x-$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{1}{4}$，舍去；
当x∈$[\frac{n}{3}，\frac{n+1}{3}）$时（n∈N），（*）左边=n，右边＜$\frac{4n-5}{6}$，而$\frac{4n-5}{6}$＜n，因此无解．
综上可得：原方程的解为：x=-$\frac{5}{4}$或-$\frac{3}{4}$．
（3）x²-8[x]+7=0化为x²+7=8[x]≤8x，解得1≤x≤7．
化为[x]=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$
当x∈[1，2）时，左边=1，右边≥1，此时有一解，x=1；当x∈[2，3）时，左边=2，右边＜2，此时无解；
当x∈[3，4）时，左边=3，右边＜3，此时无解；当x∈[4，5）时，左边=4，右边＜4，此时无解；
当x∈[5，6）时，左边=5，右边∈$[4，\frac{43}{8}）$，此时5=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$，（x＞0），解得x=$\sqrt{33}$，因此有一解$\sqrt{33}$；
当x∈[6，7）时，左边=6，右边∈$[\frac{43}{8}，7）$，此时6=$\frac{1}{8}（{x}^{2}+7）$，（x＞0），解得x=$\sqrt{41}$，因此有一解$\sqrt{41}$；
当x=7时，左边=7，右边=7，因此有一解7．
综上可得：x=1，$\sqrt{33}$，$\sqrt{41}$，7．
（4）∵2[x]≤[2x]≤2[x]+1，
∴3[x]≤[x]+[2x]≤3[x]+1，
∵[x]+[2x]=18，
∴$\frac{17}{3}$≤[x]≤6，
∴6≤x＜7，经过验证6.5≤x＜7时不成立，
∴6≤x＜6.5．

点评 本题考查了[x]的性质及其应用、解方程，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．