Question

在数列{a_n}中，已知a₂=1，前n项和为S_n，且Sn=

n(an-a1)

2

．（其中n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

lim

n→+∞

Sn

n2

；
（3）设lgbn=

an+1

3n

，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先令n=2，求出a₁=0利用递推关系式，Sn=

n(an-a1)

2

．得到S_n+1=

(n+1)(an+1-a1)

2

，作差得（n-1）a_n+1=na_n ③，从而有na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；
（2）利用（1）的结论直接求出极限．
（3）根据等比数列的定义和通项公式，建立方程进行求解即可得到结论．

解答： 解：（1）因为Sn=

n(an-a1)

2

，①
令n=2，得a1+a2=

2(a2-a1)

2

，
所以a₁=0；
S_n+1=

(n+1)(an+1-a1)

2

，②
②-①，得（n-1）a_n+1=na_n ③，
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1，
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以a_n=n-1．            （ 6分）
（2）∵a_n=n-1，
∴S_n=0+1+2+…+n-1=

(n-1)(n-2)

2

=

n2-3n+2

2

∴

lim

n→+∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n2-3n+2

2n2

=

1

2

…（ 9分）
（3）假设存在正整数p、q，使得b₁，b_p、b_q成等比数列，则lgb₁，lgb_p、lgb_q成等差数列，故

2p

3p

=

1

3

+

q

3q

，（**）…（ 11分）
由于右边大于

1

3

，则

2p

3p

＞

1

3

，即

p

3p

＞

1

6

．
因为

p+1

3p+1

-

p

3p

=

1-2p

3p+1

＜0，
所以数列{

p

3p

}为单调递减数列．…（ 14分）
当p=2时，

p

3p

=

2

9

＞

1

6

，代入（**）式得

q

3q

=

1

9

，
解得q=3；当p≥3时，

p

3p

≤

1

9

（舍）．
综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）．…（ 16分）

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，极限的应用，存在性问题的应用．属于中等题型．