Question

【题目】已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣ sin2x﹣1，若f（ ）= ﹣ ．
（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期（不需证明）；
（2）是否存在正整数k，使得函数f（x）在区间[0，kπ]内恰有2017个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣ sin2x﹣1，

∵f（ ）= ﹣ ．

∴a（sin +cos ）﹣ sin ﹣1= ﹣ ．

解得：a=1，

函数f（x）的最小正周期T=π

（2）解：存在n=504，满足题意：

理由如下：

当 时， ，

设t=sinx+cosx，则 ，sin2x=t2﹣1，

则 ， 可得 t=1或 ，

由t=sinx+cosx图象可知，x在 上有4个零点满足题意．

当 时， ，t=sinx﹣cosx，

则 ，sin2x=1﹣t2，

， ，t=1或 ，

∵ ，

∴x在 上不存在零点．

综上讨论知：函数f（x）在[0，π）上有4个零点，而2017=4×504+1，

此函数在[0，504π]有2017个零点，所以存在正整数k=504满足题意．

【解析】（1）根据f（ ）= ﹣ 带入即可求解a的值．因为|sinx|、|cosx|、sin2x的周期是都π，故得函数f（x）的最小正周期．（2）令k=1，讨论[0，π]内存在的零点情况，从而讨论是否存在k内恰有2017个零点即可．