Question

如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有

312

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Answer 1

分析：事件“至少有一个顶点在圆内”包括了三个事件“有一个点在圆内”与“有两个点在圆内”及“三个点在圆内”，注意到构成三角形的条件是三点不共线，由此规律对两个事件计数，求得它们的和即为事件“至少有一个顶点在圆内”所包括的基本事件数

解答：解：由题意事件“至少有一个顶点在圆内”包括了三个事件“有一个点在圆内”与“有两个点在圆内”，“三个点在圆内”
先计算事件“有一个点在圆内”，从圆外的12个点中取两个，共有C₁₂²=66种取法，三点共线的取法有4种，故总的取法有62种，又圆内有四个点，故事件“有一个点在圆内”包括的基本事件数有62×4=248，
对于事件“有两个点在圆内”，从圆外取一个点有12种取法，满足三点共线的取法有一种，故任取圆内两点，圆外取一点，组成的三角形的个数为11种，又圆内四点取两个有C₄²=6种取法，故事件“有两个点在圆内”，包含的基本事件数为11×6=66种
事件“三个在圆内”包括的基本事件数为C₄³=4个，
综上，事件“至少有一个顶点在圆内”的三角形总共有248+66+4=312种
故答案为312

点评：本题考察排列组合及简单的计数问题，解题的的关键是正确理解事件至少有一个顶点在圆内的三角形”，将此计数问题分为三类计数，本题考察了分类讨论的思想，当一个事件包含的基本事件有较大的区别时，常采用分类计数的办法计数，解题时要注意此技巧的使用，注意分类要分清楚．