Question

【题目】已知函数f(x)＝

(1) 判别函数f(x)的奇偶性；

(2) 判断函数f(x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断正确；

(3) 求关于x的不等式f(1－x2)＋f(2x＋2)＜0的解集．

Answer 1

【答案】（1）奇函数．（2）减函数．（3）－1＜x＜ .

【解析】试题分析：（1）先确定函数定义域：－3＜x＜3，再根据f(－x)与－f(x)相反关系，确定函数奇偶性（2）将分离得，根据复合函数单调性判断函数f(x)的单调性，再根据函数单调性定义进行证明：先设，再作差变形，最后判断符号（3）利用函数奇偶性得f(2x＋2)＜f(x2－1)，再根据函数单调性及定义域得－3＜x2－1＜2x＋2＜3，解得不等式解集

试题解析：解：(1) ∵ f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，∴ f(x)是奇函数．

(2) 由＞0，得－3＜x＜3，∴ f(x)的定义域是(－3，3)，f(x)＝ln 是减函数．

证明如下：

设－3＜x1＜x2＜3，则,， 即f(x1)＞f(x2)，∴ f(x)是减函数．

(3) 由(1)(2)知f(x)在定义域(－3，3)上是减函数，∴ 不等式可化为f(2x＋2)＜f(x2－1)，

∴ －3＜x2－1＜2x＋2＜3，解得－1＜x＜ .