Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的准线方程，可得-$\frac{p}{2}$=-2，解方程可得所求抛物线的方程；
（2）设出直线方程为y=k（x-2），代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求直线的方程．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得-$\frac{p}{2}$=-2，解得p=4，
即有抛物线的方程为y²=8x；
（2）抛物线焦点F（2，0）的直线l设为y=k（x-2），
代入抛物线的方程，可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
即有x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，
由抛物线的定义可得弦长为x₁+x₂+p=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$+4=10，
解得k=±2，
则所求直线的方程为y=±（x-2）．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，弦长公式，属于中档题．