Question

【题目】如图是一正方体的表面展开图.、、都是所在棱的中点.则在原正方体中：①与异面；②平面；③平面平面；④与平面形成的线面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值为.其中真命题的序号是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的定义和二面角的定义进行判断.

根据条件将正方体进行还原如下图所示：

对于命题①，由图形可知，直线与异面，命题①正确；

对于命题②，、分别为所在棱的中点，易证四边形为平行四边形，

所以，，平面，平面，平面，命题②正确；

对于命题③，在正方体中，平面，

由于四边形为平行四边形，，平面.

、平面，，.

则二面角所成的角为，显然不是直角，

则平面与平面不垂直，命题③错误；

对于命题④，设正方体的棱长为，易知平面，则与平面所成的角为，由勾股定理可得，，

在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为，命题④正确；

对于命题⑤，在正方体中，平面，且，平面.

、平面，，，

所以，二面角的平面角为，

在中，由勾股定理得，，

由余弦定理得，命题⑤错误.

故答案为：①②④.