分析 (1)由题意可设抛物线的标准方程为:y2=2px(p>0),则$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$,解得p即可得出.
(2)直线l为x轴时不成立.设直线l的方程为:x=ty+$\frac{1}{2}$,取CD的中点N,连接MN,则MN⊥CD,∵|AC|=|BD|,点N是线段AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),与抛物线方程联立化为:y2-2ty-1=0,可得N$({t}^{2}+\frac{1}{2},t)$.利用MN⊥AB,即可得出t.
解答 解:(1)由题意可设抛物线的标准方程为:y2=2px(p>0),则$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$,解得p=2,
∴抛物线的标准方程为:y2=2x.
(2)直线l为x轴时不成立.
设直线l的方程为:x=ty+$\frac{1}{2}$,
取CD的中点N,连接MN,则MN⊥CD,
∵|AC|=|BD|,
∴点N是线段AB的中点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$,${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$.
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x=ty+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,化为:y2-2ty-1=0,
∴y1+y2=2t,y0=t,x0=t2+$\frac{1}{2}$,即N$({t}^{2}+\frac{1}{2},t)$.
∵MN⊥AB,
∴$\frac{t-8}{{t}^{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}$=-t,解得t=2.
∴直线l的方程为2x-4y-1=0.
点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a<b<c | B. | a<c<b | C. | c<a<b | D. | c<b<a |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$ | B. | $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$ | C. | $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$ | D. | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $6\sqrt{5}$ | B. | $3+\sqrt{5}$ | C. | $14+6\sqrt{5}$ | D. | 14 |
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