Question

若关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0有解，则实数a的取值范围是

{a|a≤-8}

．

Answer 1

分析：令3^x=t＞0由条件可得a=

t2+4t+4

-t

=-4-（t+

4

t

），利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．

解答：解：令3^x=t＞0，则关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0 即 t²+（4+a）t+4=0 有正实数解．
故 a=

t2+4t+4

-t

=-4-（t+

4

t

），
由基本不等式可得 t+

4

t

≥4，当且仅当t=

4

t

时，等号成立，故-（t+

4

t

）≤-4，故-4-（t+

4

t

）≤-8，
即a≤-8，
故答案为 {a|a≤-8}．

点评：本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法，属于中档题．