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若关于x的方程9x+(4+a)•3x+4=0有解,则实数a的取值范围是
{a|a≤-8}
{a|a≤-8}
分析:令3x=t>0由条件可得a=
t2+4t+4
-t
=-4-(t+
4
t
),利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围.
解答:解:令3x=t>0,则关于x的方程9x+(4+a)•3x+4=0 即 t2+(4+a)t+4=0 有正实数解.
故 a=
t2+4t+4
-t
=-4-(t+
4
t
),
由基本不等式可得 t+
4
t
≥4,当且仅当t=
4
t
时,等号成立,故-(t+
4
t
)≤-4,故-4-(t+
4
t
)≤-8,
即a≤-8,
故答案为 {a|a≤-8}.
点评:本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题,同时考查转化思想和换元法,属于中档题.
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