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【题目】在四棱锥PABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且有ABDCACCDDAAB.

1)证明:BCPA

2)若PAPCAC,求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)设AB2a,则ACCDDAa,推导出,由余弦定理得BC,由勾股定理得BCAC,从而BC⊥平面PAC,由此能证明BCPA.

2)设AC2,取AC中点O,连结PO,则POACPO,推导出PO⊥平面ABCD,以C为原点,CAx轴,CBy轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

1)证明:设AB2a,则ACCDDAa

∵△ACD是等边三角形,∴

ABDC,∴

由余弦定理得:

3a2,∴BC

BC2+AC2AB2,∴,∴BCAC

∵平面PAC∩平面ABCDACBC平面ABCD

BC⊥平面PAC

PA平面PAC,∴BCPA.

2)解:设AC2,取AC中点O,连结PO,则POACPO

∵平面PAC⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD

C为原点,CAx轴,CBy轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,

C000),B020),P10),A200),D10),

10),10),10),020),

设平面PAD的法向量xyz),

,取z1,得),

设平面PBC的法向量abc),

,取a,得),

设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为θ.

cosθ.

∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为.

练习册系列答案
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A.函数是偶函数

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2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:

年入流量

发电机最多可运行台数

1

2

3

若某台发电机运行,则该台发电机年净利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系:

年入流量

一台未运行发电机年维护费

500

800

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得分

0

3

6

人数

200

300

500

1)求这1000份试卷中第19题的得分的中位数和平均数;

2)若某校的两名高三学生因故未参加考试,如果这两名学生参加考试,以样本中各种得分情况的频率作为这两名同学相应的各种得分情况的概率.试求这两名同学理综卷第19题的得分之和的分布列及效学期望.

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【题目】20183月份,上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》,4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018-2020年)》,提出到2020年底,基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖,居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识,推动社区垃圾分类正确投放,某社区在健身广场举办了垃圾分类,从我做起生活垃圾分类大型宣传活动,号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量,为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.

1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关,现随机选取了一部分社区居民进行调查,其中被调查的男性居民和女性居民人数相同,男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的,女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的,若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下,认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关,则被调查的女性居民至少多少人?

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

2)某垃圾站的日垃圾分拣量(千克)与垃圾分类志愿者人数(人)满足回归直线方程,数据统计如下:

志愿者人数(人)

2

3

4

5

6

日垃圾分拣量(千克)

25

30

40

45

已知,根据所给数据求和回归直线方程,附:

3)用(2)中所求的线性回归方程得到与对应的日垃圾分拣量的估计值.当分拣数据与估计值满足时,则将分拣数据称为一个正常数据.现从5个分拣数据中任取3个,记表示取得正常数据的个数,求的分布列和数学期望.

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A.B.C.D.

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