【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且有AB∥DC,AC=CD=DAAB.
(1)证明:BC⊥PA;
(2)若PA=PC=AC,求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)设AB=2a,则AC=CD=DA=a,推导出,由余弦定理得BC,由勾股定理得BC⊥AC,从而BC⊥平面PAC,由此能证明BC⊥PA.
(2)设AC=2,取AC中点O,连结PO,则PO⊥AC,PO,推导出PO⊥平面ABCD,以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.
(1)证明:设AB=2a,则AC=CD=DA=a,
∵△ACD是等边三角形,∴,
∵AB∥DC,∴,
由余弦定理得:
3a2,∴BC,
∴BC2+AC2=AB2,∴,∴BC⊥AC,
∵平面PAC∩平面ABCD=AC,BC平面ABCD,
∴BC⊥平面PAC,
∵PA平面PAC,∴BC⊥PA.
(2)解:设AC=2,取AC中点O,连结PO,则PO⊥AC,PO,
∵平面PAC⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD,
以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则C(0,0,0),B(0,2,0),P(1,0,),A(2,0,0),D(1,,0),
(1,0,),(1,,0),(1,0,),(0,2,0),
设平面PAD的法向量(x,y,z),
则,取z=1,得(),
设平面PBC的法向量(a,b,c),
则,取a,得(),
设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为θ.
则cosθ.
∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为.
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【题目】如图是函数的部分图象,把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数是偶函数
B.函数图象的对称轴为直线
C.函数的单调递增区间为
D.函数图象的对称中心为
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【题目】已知函数,若的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点.
(1)求的表达式和的递增区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若函数在区间上有且只有一个零点,求实数的取值范围.
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【题目】某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
年入流量 | |||
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行,则该台发电机年净利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系:
年入流量 | ||
一台未运行发电机年维护费 | 500 | 800 |
欲使水电站年净利润最大,应安装发电机多少台?
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【题目】2018年新课标Ⅱ卷理综物理高考试题的选择题是这样的:二、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分,在每小题给出的四个选项中,第14~18题只有一项符合题目要求.第19~21题有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错的得0分,每年高考后都会对每题的得分情况进行一个大致的统计,特地对第19题的得分情况进调研,从某省所有试卷中随机抽取1000份试卷,其中第19题的得分组成容量为1000的样本.统计结果如下表:
得分 | 0 | 3 | 6 |
人数 | 200 | 300 | 500 |
(1)求这1000份试卷中第19题的得分的中位数和平均数;
(2)若某校的两名高三学生因故未参加考试,如果这两名学生参加考试,以样本中各种得分情况的频率作为这两名同学相应的各种得分情况的概率.试求这两名同学理综卷第19题的得分之和的分布列及效学期望.
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【题目】2018年3月份,上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》,4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018-2020年)》,提出到2020年底,基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖,居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识,推动社区垃圾分类正确投放,某社区在健身广场举办了“垃圾分类,从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动,号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量,为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.
(1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关,现随机选取了一部分社区居民进行调查,其中被调查的男性居民和女性居民人数相同,男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的,女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的,若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下,认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关,则被调查的女性居民至少多少人?
附,,
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)某垃圾站的日垃圾分拣量(千克)与垃圾分类志愿者人数(人)满足回归直线方程,数据统计如下:
志愿者人数(人) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
日垃圾分拣量(千克) | 25 | 30 | 40 | 45 |
已知,,,根据所给数据求和回归直线方程,附:,.
(3)用(2)中所求的线性回归方程得到与对应的日垃圾分拣量的估计值.当分拣数据与估计值满足时,则将分拣数据称为一个“正常数据”.现从5个分拣数据中任取3个,记表示取得“正常数据”的个数,求的分布列和数学期望.
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【题目】如图是一个由正四棱锥和正四棱柱构成的组合体,正四棱锥的侧棱长为6,为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时,点到正四棱柱外接球表面的最小距离是( )
A.B.C.D.
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