Question

（2012•徐汇区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．
（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；
（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．

Answer 1

分析：（1）先判断∠DPA就是PD与平面PAC所成的角，再在Rt△PAD中，即可求得结论；
（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，从而可求体积．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
又∵AC⊥AB，PA∩AC=A
∴AB⊥平面PAC，
∴∠DPA就是PD与平面PAC所成的角．…（2分）
在Rt△PAD中，PA=2，AD=

3

2

，…（4分）
∴tan∠DPA=

3

4

∴∠DPA=arctan

3

4

，…（5分）
即PD与平面PAC所成的角的大小为arctan

3

4

．…（6分）
（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，
∴V=

1

3

π×(

3

)2×2-

1

3

π×(

3

2

)2×2=

3

2

π．…（12分）．

点评：本题考查线面角，考查几何体的体积，确定线面角，明确几何体的形状是解题的关键．