【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2.
(I)若f(x)在x=1处有极值10,求a,b的值;
(II)若当a=-1时,f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,求b的取值范围
【答案】(I); (II)b<-
【解析】试题分析:(1)首先对f(x)求导,然后由题设在x=1时有极值10可得f '(1)=0,f(1)=10,解得即可;
(2)x3-x2+bx+1<0在x∈[1,2]恒成立,即b<在x∈[1,2]恒成立,令g(x)=
,即可求出b的取值范围.
试题解析:
(I)f '(x)=3x2+2ax+b,由题设有f '(1)=0,f(1)=10
即解得
或
经验证,若则f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2
当x>1或x<1时,均有f '(x)>0,可知
此时x=1不是f(x)的极值点,故舍去
符合题意,故
.
(II)当a=-1时,f(x)=x3-x2+bx+l
若f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,即
x3-x2+bx+1<0在x∈[1,2]恒成立
即b<在x∈[1,2]恒成立
令g(x)=,则
g '(x)==
(法一:由g '(x)=0解得x=1…)
(法二)由-2x3+x2+1=1-x3+x2(1-x) 可知x∈[1,2]时g '(x)<0
即g(x)=在x∈[1,2]单调递减
(g(x))max=g(2)=-
∴b<-时,f(x)<0在x∈[1,2]恒成立.
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【题目】有6名男医生,4名女医生.
(1)选3名男医生,2名女医生,让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗,共有多少种不同方法?
(2)把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生,则有多少种不同分法?若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正副组长两人,又有多少种不同方案?
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【题目】已知棱长为l的正方体中,E,F,M分别是AB、AD、
的中点,又P、Q分别在线段
上,且
,设面
面MPQ=
,则下列结论中不成立的是( )
A.面ABCD
B.AC
C.面MEF与面MPQ不垂直
D.当x变化时,不是定直线
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【题目】已知函数f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e为自然对数的底数.
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:x+2y=0垂直,求实数a的值;
(II)设函数F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值;
(III)用max{m,n}表示m,n中的较大者,记函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0). 若函数h(x)在(0,+∞)上恰有2个零点,求实数a的取值范围.
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【题目】给出四个命题
(1)若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;
(2)若sinA=cosB,则△ABC为直角三角形;
(3)若sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC为钝角三角形;
(4)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC为正三角形.
以上正确命题的是_______.
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【题目】设函数是定义在
上的偶函数,当
时,
).
(1)当时,求
的解析式;
(2)若,试判断
的上单调性,并证明你的结论;
(3)是否存在,使得当
时,
有最大值
.
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【题目】给出下列四个结论:
(1)如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中
的系数是-21;
(2)用相关指数来刻画回归效果,
的值越大,说明模型的拟合效果越差;
(3)若是
上的奇函数,且满足
,则
的图象关于
对称;
(4)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为,得2分的概率为
,不得分的概率为
,且
,已知他投篮一次得分的数学期望为2,则
的最小值为
;
其中正确结论的序号为__________.
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