Question

已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，求f（2009）的值；
（3）在（2）的条件下，设a_n=|f（n）-14|（n∈N^*），若数列{a_n}从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值．

Answer 1

分析：（1）欲证明函数f（x）在R上是增函数，设x₁＞x₂证明f（x₁＞f（x₂），即可．
（2）先将不等式f（x²-ax+5a）＜2转化为f(x_-ax+5a)＜f(b)，利用函数的单调性脱掉“f”，转化成整式不等式，再结合方程根的定义求解出a，b，最后利用等差数列求出f（2009）的值即可；
（3）设从第k项开始的连续20项之和为T_k，则T_k=a_k+a_k+1++a_k+19．下面对k进行分类讨论，列出关于k的方程，解之即得k值．

解答：（1）证明：设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，从而f（x₁-x₂）＞1，即f（x₁-x₂）-1＞0．（2分）
f（x₁）=f[x₂+（x₁-x₂）]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1＞f（x₂），
故f（x）在R上是增函数．（4分）
（2）设2=f（b），于是不等式为f(x_-ax+5a)＜f(b)．
则x_-ax+5a＜b，即x_-ax+5a-b＜0．（6分）
∵不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-b=0的两根为-3和2，
于是

-3+2=a -3×2=5a-b

，解得

a=-1 b=1

∴f（1）=2．（8分）
在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1．
所以{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010．（10分）
（3）a_k=|f（k）-14|=|（k+1）-14|=|k-13|．
设从第k项开始的连续20项之和为T_k，则T_k=a_k+a_k+1+…+a_k+19．
当k≥13时，a_k=|k-13|=k-13，T_k≥T₁₃=0+1+2+3+…+19=190＞102．（11分）
当k＜13时，a_k=|k-13|=13-k．
T_k=（13-k）+（12一k）+…+1+0+1+…+（k+6）=k²一7k+112．
令k²-7k+112=102，解得k=2或k=5．（14分）
（注：当k≥13时，a_k=|k一13|=k一13，令Tk=20(k-13)+

20×19

2

×1=102，无正整数解．得11分）

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．