Question

已知m∈R，设命题P：不等式|x|+|x-1|＞m的解集是R，命题Q：函数f（x）=log₂（x²+2x-m）的定义域是R．如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求m的取值集合．

Answer 1

分析：P：由|x|+|x-1|≥|-x+1|=1，及不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R，可求m＜1；Q：f由（x）=log₂（x²+2x-m）的定义域为R，可得x²+2x-m＞0恒成立，解得m＜-1
由题意知P、Q中恰有一个为真命题 可求m的范围

解答：解：P：∵|x|+|x-1|≥|-x+1|=1，
又不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R，
∴m＜1   …（3分）
Q：∵f（x）=log₂（x²+2x-m）的定义域为R，
∴当x∈R时，x²+2x-m＞0恒成立，
即△＜0解得m＜-1，…（6分）
由题意知P、Q中恰有一个为真命题 即

m＜1 m≥-1

或

m≥1 m＜-1

，
解得：-1≤m＜1                            …（10分）
∴m的取值范围为：-1≤m＜1．…（12分）

点评：本题主要考查了符合命题的真假的应用，绝对值不等式的应用，对数函数恒成立的求解，解题的关键是把每个命题为真的范围求出