Question

函数y=

1

2

x²-ax-

27

2x2

在（0，+∞）上是增函数，则实数a的最大值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：函数y=

1

2

x²-ax-

27

2x2

在（0，+∞）上是增函数可化为y′=x-a+

27

x3

≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题．

解答： 解：∵函数y=

1

2

x²-ax-

27

2x2

在（0，+∞）上是增函数，
∴y′=x-a+

27

x3

≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≤x+

27

x3

在（0，+∞）上恒成立，
即a≤（x+

27

x3

）_min，x∈（0，+∞）；
设h（x）=x+

27

x3

，
则令h′（x）=1-

81

x4

=0，得x=3；
当x＜3时，h′（x）＜0，x＞3时，h′（x）＞0；
故（x+

27

x3

）_min=h（3）=4；
故a≤4；
故实数a的最大值为4．
故选B．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．