Question

【题目】已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1) y2＝4x;(2) .

【解析】

试题分析: (1)利用代入法求出曲线方程;(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0).圆心到切线的距离为半径,根据点到直线的距离公式列出等式,整理成关于k的一元二次方程,根据韦达定理表示出面积,利用函数的单调性求出最值.

试题解析:(1)设P(x，y)，则点N(2x，2y)在抛物线E：y2＝8x上，∴4y2＝16x，∴曲线C的方程为y2＝4x.

(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0).

令y＝0，得x＝x0－.

圆心(2，0)到切线的距离d＝＝2，

整理得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0.

设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝，k1k2＝.

∴△QAB面积S＝·|y0|＝

y＝2·.

设t＝x0－1∈[4，＋∞)，则S＝f(t)＝2在[4，＋∞)上单调递增，且f(4)＝，

∴f(t)≥，即△QAB面积的最小值为.