Question

15．曲线C：y=2sinx在x=$\frac{π}{6}$和x=x₀处的切线互相垂直，将曲线C的图象向左平移$\frac{π}{2}$+φ个单位后所得的图象关于直线x=x₀对称，则cos2φ的值为-$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据导数的几何意义，建立条件方程求出cosx₀=$-\frac{\sqrt{3}}{6}$，然后结合三角函数的图象变换关系，以及三角函数的对称性求出φ与x₀的关系，结合三角函数的倍角公式进行求解即可．

解答 解：y=2sinx的导数f′（x）=2cosx，
则f′（$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{6}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵y=2sinx在x=$\frac{π}{6}$和x=x₀处的切线互相垂直，
∴f′（$\frac{π}{6}$）f′（x₀）=-1，
即$\sqrt{3}$f′（x₀）=-1，
则f′（x₀）=-$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由f′（x₀）=2cosx₀=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则cosx₀=$-\frac{\sqrt{3}}{6}$，
将曲线C的图象向左平移$\frac{π}{2}$+φ个单位后得到y=2sin（x+$\frac{π}{2}$+φ）=2cos（x+φ），
若y=2cos（x+φ）关于x=x₀对称，
则x₀+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ-x₀，k∈Z
则cos2φ=cos（2kπ-2x₀）=cos2x₀=2cos²x₀-1=2•（$-\frac{\sqrt{3}}{6}$）²-1=2×$\frac{3}{36}$-1=$\frac{1}{6}-1=-$$\frac{5}{6}$，
故答案为：-$\frac{5}{6}$

点评 本题主要考查三角函数值的计算以及导数的几何意义，根据导数的几何意义建立方程关系以及利用三角函数的图象变换以及三角函数的倍角公式进行化简是解决本题的关键．综合考查学生的运算能力．