Question

对于函数f(x)=

x

1+|x|

，下列结论正确的是

④

．
①f（x）在（-∞，+∞）上不是单调函数
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有两个不等的实数解；
③?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
④?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）．

Answer 1

分析：①判断函数是奇函数，再用导数法确定函数的单调性即可；
②利用函数在实数集R上具有单调性，即可得到结论；
③0是方程f（x）-kx=0的一个根＜而当x＞0，k＞1时，方程

x

1+x

-kx=0无解，即函数g（x）无零点，同理x＜0时，亦无解，故③不正确；
④由②的单调性即可判断出

解答：解：函数f(x)=

x

1+|x|

的定义域为实数集R，图象如图所示
①?x∈R，f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=0
函数是实数集R上的奇函数，其图象关于原点对称
∵x＞0时，f(x)=

x

1+x

，∴f′(x)=

1

(1+x)2

＞0
∴函数是实数集R上的单调增函数，故①不正确；
②由①知，m∈（0，1），方程f（x）=m有唯一实数解，故②不正确；
③∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函数g（x）的一个零点；
当x＞0时，若?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点，则方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化为kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程无解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（-∞，0）上有零点，故③不正确；
④由②可知：函数f(x)=

x

1+|x|

，在实数集R上单调递增，因此?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），故④正确．
综上可知：只有④正确．
故答案为：④．

点评：本题考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，由已知函数得出其奇偶性和单调性及画出图形是解题的关键．