Question

设函数f(x)=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x_n}.
(1)求数列{x_n}的通项公式.
(2)设{x_n}的前n项和为S_n,求sinS_n.

Answer 1

(1) x_n=2nπ-(n∈N^*)    (2) sinS_n=

【思路点拨】(1)根据导数,x_n的左侧导函数小于0,x_n的右侧导函数大于0,求出极小值点.(2)由(1)求出{x_n}的前n项和为S_n,再代入sinS_n求解.
解：(1)f(x)=+sinx,令f'(x)=+cosx=0,得x=2kπ±(k∈Z),
f'(x)>0⇒2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),
f'(x)<0⇒2kπ+<x<2kπ+(k∈Z),
当x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取极小值,
x_n=2nπ-(n∈N^*).
(2)由(1)得:x_n=2nπ-,
S_n=x₁+x₂+x₃+…+x_n
=2π(1+2+3+…+n)-=n(n+1)π-.
当n=3k(k∈N^*)时,sinS_n=sin(-2kπ)=0,
当n=3k-1(k∈N^*)时,sinS_n=sin=,
当n=3k-2(k∈N^*)时,sinS_n=sin=-.
所以sinS_n=