Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC，AB=AC，A₁A=A₁B=a，侧面B₁BCC₁与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B₁C₁、A₁A的中点
（Ⅰ）求A₁A与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明A₁E∥平面B₁FC；
（Ⅲ）求经过A₁、A、B、C四点的球的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求A₁A与底面ABC所成的角，先作出直线与平面所成的角，通过解三角形即可．
（Ⅱ）要证明A₁E∥平面B₁FC，可以在平面B₁FC中作出直线FP（P为CB₁的中点），证明A₁E∥FP即可．
（Ⅲ）求经过A₁、A、B、C四点的球的体积，找到球心H，求出球的半径，即可．

解答：解：（Ⅰ）过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H．
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A₁AH为A₁A与底面ABC所成的角．
∵∠A₁AB=∠A₁AC，∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．
因此，由三垂线定理A₁A⊥BC．
∵A₁A∥B₁B，且EG∥B₁B，∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即∠AGE．
由于四边形A₁AGE为平行四边形，得∠A₁AG=60°．

（Ⅱ）证明：设EG与B₁C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．
在平行四边形AGEA₁中，因F为A₁A的中点，故A₁E∥FP．
而FP?平面B₁FC，A₁E?平面B₁FC，所以A₁E∥平面B₁FC．
（Ⅲ）连接A₁C．在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，∠A₁AB=∠A₁AC，A₁A=A₁A，
则△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B．由已知得A₁A=A₁B=A₁C=a．
又∵A₁H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A₁H，且球心O与A₁A中点的连线OF⊥A₁A．
在Rt△A₁FO中，A₁O=

A1F

cosAA1H

=

1 2 a

cos30°

=

3 a

3

．
故所求球的半径R=

3

3

a，球的体积V=

4

3

πR³=

4 3

27

πa³．

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和逻辑思维能力，直线与欧美所成的角等有关知识，是难题．