第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.
如果存在常数使得数列
满足:若
是数列
中的一项,则
也是数列
中的一项,称数列
为“兑换数列”,常数
是它的“兑换系数”.
(1)若数列:是“兑换系数”为
的“兑换数列”,求
和
的值;
(2)已知有穷等差数列的项数是
,所有项之和是
,求证:数列
是“兑换数列”,并用
和
表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.
(1)a=6,m=5;(2)见解析;(3)
【解析】本试题主要考查了数列的运用。
解:(1)因为数列:1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项,且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分
故a-m=1,a-4=2-------------------3分
即a=6,m=5 -------------------4分
(2)设数列的公差为d,因为数列
是项数为
项的有穷等差数列
若
即对数列中的任意一项
-------------------6分
同理可得:若,
也成立,
由“兑换数列”的定义可知,数列是
“兑换数列”;-------------------8分
又因为数列所有项之和是B,所以
,即
------10分
(3)假设存在这样的等比数列,设它的公比为q,(q>1),
因为数列为递增数列,所以
又因为数列为“兑换数列”,则
,所以
是正整数
故数列必为有穷数列,不妨设项数为n项,------------------12分
则----------14分
① n=3则有,又
,由此得q=1,与q>1矛盾;-------------------15分
②若。由
,
即(),故q=1,与q>1矛盾;-------------------17分
综合①②得,不存在满足条件的数列。-------------------18分
科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市徐汇区高三4月学习能力诊断理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.
已知点为双曲线
的左、右焦点,过
作垂直于
轴的直线,在
轴上方交双曲线于点
,且
,圆
的方程为
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过圆上任意一点
作切线
交双曲线
于
两个不同点,
中点为
,
求证:;
(3)过双曲线上一点
作两条渐近线的垂线,垂足分别是
和
,求
的值
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市徐汇区高三4月学习能力诊断理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
第(1)小题满分4分,第(2)小题满分8分.
在中,角
所对边的长分别为
,且
.
(1)求的值;(2)求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分18分)第(1)小题满分4分,第(2)小题满分8分,第(3)小题满分6分。
定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。
若椭圆,判断
与
是否相似?如果相似,求出
与
的相似比;如果不相似,请说明理由;
写出与椭圆
相似且短半轴长为
的椭圆
的方程;若在椭圆
上存在两点
、
关于直线
对称,求实数
的取值范围?
如图:直线与两个“相似椭圆”
和
分别交于点
和点
,证明:
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分12分)第(1)小题满分4分,第(2)小题满分8分。
已知关于的不等式
的解集为
,不等式
的解集为
。
(1)若,求
;(2)若
,求正数
的取值范围。
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