Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=

3

acosC．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=

7

，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵csinA=

3

acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=

3

sinAcosC
结合sinA＞0，可得sinC=

3

cosC，得tanC=

3

∵C是三角形的内角，∴C=60°；
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA，
而3sin2A=6sinAcosA
∴由sinC+sin（B-A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA
当cosA=0时，∠A=

π

2

，可得b=

c

tanC

=

21

3

，
可得三角△ABC的面积S=

1

2

bc=

7 3

6

当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，
∵c=

7

，∠C=60°，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=7…②，
联解①①得a=1，b=3，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×1×3×sin60°=

3 3

4

．
综上所述，△ABC的面积等于

7 3

6

或

3 3

4

．