【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系,然后将点的坐标代入椭圆的方程,可求出与的值,从而得出椭圆的方程;(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,当直线的斜率不存在时,可求出,然后进行检验;当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,设点,先由直线与圆相切得出与之间的关系,再将直线的方程与椭圆的方程联立,由韦达定理,利用弦长公式并结合条件得出的值,从而求出直线的倾斜角.
(1)由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,可得,
又点在椭圆上,所以,解得,
即椭圆的方程为.
(2)圆的方程为,当直线不存在斜率时,解得,不符合题意;
当直线存在斜率时,设其方程为,因为直线与圆相切,所以,即.
将直线与椭圆的方程联立,得:
,
判别式,即,
设,则 ,
所以,
解得,
所以直线的倾斜角为或.
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马.如图所示,在阳马中,底面.
(1)若,斜梁与底面所成角为,求立柱的长(精确到);
(2)证明:四面体为鳖臑;
(3)若,,,为线段上一个动点,求面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)在(1)的条件下,求证:f(x)≥-+-4x+.
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【题目】某校高一班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,可见部分如图.
1求分数在的频数及全班人数;
2求分数在之间的频数,并计算频率分布直方图中间矩形的高;
3若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份分数在之间的概率.
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【题目】已知抛物线:上一点到焦点的距离为4,动直线交抛物线于坐标原点O和点A,交抛物线的准线于点B,若动点P满足,动点P的轨迹C的方程为.
(1)求出抛物线的标准方程;
(2)求动点P的轨迹方程;
(3)以下给出曲线C的四个方面的性质,请你选择其中的三个方面进行研究:①对称性;②范围;③渐近线;④时,写出由确定的函数的单调区间.
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【题目】已知正方体的棱长为4,E、F分别是棱AB、的中点,联结EF、、、E、E、E.
求三棱锥的体积;
求直线与平面所成角的大小结果用反三角函数值表示.
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【题目】已知数列的各项均不为零.设数列的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn, 且 .
(1)求的值;
(2)证明:数列是等比数列;
(3)若对任意的恒成立,求实数的所有值.
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