Question

已知点A、B、C是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2

3

，0)，BC过椭圆M的中心，且

CA

•

CB

=0，2|

CA

|=|

CB

|．
（I）求椭圆M的方程；
（II）过点M(0，

3

2

)且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|

DE

|=|

DF

|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）根据点A的坐标为(2

3

，0)，可知A是长轴端点，利用2|

CA

|=|

CB

|且BC过椭圆M的中心，可确定C点坐标代入方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，即可求得椭圆方程；
（II）设直线l的方程为y=kx+

3

2

，由

y=kx+ 3 2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-

21

4

=0，求出EF的中点N的坐标为（-

9k

2(1+3k2)

，

3

2(1+3k2)

），利用|

DE

|=|

DF

|，可得k_DN•k=-1，从而求出直线的斜率，即可求得直线l的方程．

解答：解：（I）由点A是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点，点A的坐标为(2

3

，0)，可知：A是长轴端点故：a=2

3

又2|

CA

|=|

CB

|且BC过椭圆M的中心（0，0），∴|BC|=2|0C|=2|0B|，|AC|=|OC|，
∵

CA

•

CB

=0，∴AC⊥BC，∴∠AOC=

π

4

，
∵|OA|=2

3

，∴C点坐标为（

3

，

3

）
代入方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)得：

3

12

+

3

b2

=1
∴b²=4，b=2，
∴椭圆方程为：

x2

12

+

y2

4

=1
（II）设直线l的方程为y=kx+

3

2

，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
由

y=kx+ 3 2 x2 12 + y2 4 =1

，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-

21

4

=0
∴x₁+x₂=-

9k

1+3k2

，∴y₁+y₂=

3

1+3k2

∴EF的中点N的坐标为（-

9k

2(1+3k2)

，

3

2(1+3k2)

）
∵D（0，-2）
∴kDN=

3 2(1+3k2) +2

- 9k 2(1+3k2)

=-

7+12k2

9k

∵|

DE

|=|

DF

|
∴k_DN•k=-1
∴-

7+12k2

9k

×k=-1
∴k2=

1

6

∴k=±

6

6

∴直线l的方程为y=±

6

6

x+

3

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将|

DE

|=|

DF

|，转化为k_DN•k=-1进行求解．