Question

9．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{x+1}{x}$a．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的极大值，并写出单调区间；
（2）当a=1时，若对任意的x＞1，恒有ln（x-1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过定义域x＞0，求导可知f（x）在区间（0，$\sqrt{e}$）上单调递增、在区间（$\sqrt{e}$，+∞）上单调递减，进而计算可得结论；
（2）通过变形可知对任意的x＞1，恒有ln（x-1）+k+1≤kx成立等价于恒有$\frac{ln（x-1）+1}{x-1}$≤k成立，进而通过令t=x-1可知g（t）=$\frac{1+lnt}{t}$≤k成立，通过求导确定函数的单调性即得结论．

解答 解：（1）依题意，x＞0，
f（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{x+1}{x}$，
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{x-x-1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-2lnx}{2{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，即1=2lnx，即x=$\sqrt{e}$，
∴f（x）在区间（0，$\sqrt{e}$）上单调递增，在区间（$\sqrt{e}$，+∞）上单调递减，
∴当a=$\frac{1}{2}$时函数f（x）的极大值为f（$\sqrt{e}$）=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{e}+1}{\sqrt{e}}$=$\frac{e+2\sqrt{e}}{2e}$；
（2）∵对任意的x＞1，恒有ln（x-1）+k+1≤kx成立，
∴对任意的x＞1，恒有$\frac{ln（x-1）+1}{x-1}$≤k成立，
令t=x-1，则t＞0，且g（t）=$\frac{1+lnt}{t}$≤k成立，
依题意，当a=1时f（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{x+1}{x}$=1+$\frac{1+lnx}{x}$，
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{x-x-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
即[f（x）-1]_max=f（1）-1=2-1=1，
∴k≥1．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，结合导数考查函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．