Question

一种信号灯，只有符号“√”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“√”和“×”两者之一，其中出现“√”的概率为

1

3

，出现“×”的概率为

2

3

，若第m次出现“√”，记为a_m=1，若第m次出现“×”，则记为a_m=-1，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）求S₄=2的概率；
（2）求S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3的概率．

Answer 1

分析：（1）欲求S₄=2的概率，需要先分析何时S₄=2，根据若第m次出现“√”，记为a_m=1，若第m次出现“×”，则记为a_m=-1可知，出现了3次“√”，1次“×”，再用n次独立重复试验某事件恰有k次发生的概率来计算即可．
（2）因为S₇=3，所以7次中出现了5次“√”，2次“×”，又因为S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，所以第一次是“√”，第二次和第三次中至少有一次是“√”，再分第二次和第三次中有一次是“√”和第二次和第三次中都是“√”，两种情况求出概率，相加即为S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3的概率．

解答：解：（1）∵S₄=2，∴出现了3次“√”，1次“×”
∴概率为C₄¹×

2

3

×(

1

3

)3=

8

81

（2）∵S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3，
∴出现了5次“√”，2次“×”，且第一次是“√”，第二次和第三次中至少有一次是“√”
第二次和第三次中有一次是“√”的概率为C₂¹C₄³(

1

3

)5(

2

3

)2=

64

2187

第二次和第三次中都是“√”的概率为C₄²(

1

3

)5(

2

3

)2=

48

2187

∴S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3的概率为

64

729

+

48

2187

=

112

2187

点评：本题主要考察了n次独立重复试验某事件恰有k次发生的概率，其中需判断所求情况中某事件出现的情况．