Question

4．已知数列{a_n} 的前n项和${S_n}=3{n^2}+8n$，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1；
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求${c_n}=\frac{{3{a_n}}}{{{b_n}-11}}$的最大项的值，并指出是第几项．

Answer 1

分析 （1）运用n=1，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n，再由等差数列的通项公式可得b_n的通项或由n=1，n=2，解方程可得b_n的通项；
（2）求出c_n，变形，运用n≥4时，c_n递减，且n=1，2，3均为负的，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=3+8=11，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=3{n^2}+8n-3{（n-1）^2}-8（n-1）=6n+5$，
又a_n=6n+5对n=1也成立，
所以a_n=6n+5．
又因为{b_n}是等差数列，设首项为b₁，公差为d，
则由a_n=b_n+b_n+1得：6n+5=（2d）n+（2b₁-d），且该等式恒成立，
所以：$\left\{\begin{array}{l}2d=6\\ 2{b_1}-d=5\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=4\\ d=3\end{array}\right.$，所以b_n=3n+1；
法二：当n=1时，2b₁=11-d；当n=2时，2b₂=17-d，
相减可得d=3，所以数列{b_n}的通项公式为${b_n}=\frac{{{a_n}-d}}{2}=3n+1$．
（2）${c_n}=\frac{{3{a_n}}}{{{b_n}-11}}$=$\frac{{3（{6n+5}）}}{{（{3n+1}）-11}}$=$6+\frac{25}{{n-\frac{10}{3}}}$，
由n≥4时，c_n递减，且c₄=$\frac{87}{2}$；又c₁＜0，c₂＜0，c₃＜0，
所以当n=4的时候取得最大值$\frac{87}{2}$．

点评 本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式和等差数列通项公式，考查数列中的最大值，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．