分析 正四面体A-BCD中,过D作DE⊥BC,交BC于E,过点A作AF⊥平面BCD,交DE于F,连结AE,设O为正四面体A-BCD的外接球的球心,则O在AF上,连结OD,设球O的半径OA=OC=R,推导出R2=(8-R)2+(4$\sqrt{2}$)2,由此能求出R,从而能求出该球的表面积.
解答 解:过D作DE⊥BC,交BC于E,过点A作AF⊥平面BCD,交DE于F,连结AE,
设O为正四面体A-BCD的外接球的球心,则O在AF上,连结OD,
∵正四面体A-BCD的棱长为4$\sqrt{6}$,
∴E是BC中点,F是△BCD重心,
∴DF=$\frac{2}{3}DE=\frac{2}{3}\sqrt{96-24}=4\sqrt{2}$,EF=$\frac{1}{3}DE=2\sqrt{2}$,
AE=$\sqrt{96-24}$=6$\sqrt{2}$,AF=$\sqrt{72-8}$=8,
设球O的半径OA=OC=R,
则R2=(8-R)2+(4$\sqrt{2}$)2,
解得R=6,
∴该球的表面积S=4πR2=4π×36=144π.
故答案为:144π.
点评 本题考查正四面体的外接球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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