Question

（2008•宝山区一模）函数是这样定义的：对于任意整数m，当实数x满足不等式|x-m|＜

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时，有f（x）=m．
（1）求函数的定义域D，并画出它在x∈D∩[0，4]上的图象；
（2）若数列an=2+10•(

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)n，记S_n=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n），求S_n；
（3）若等比数列{b_n}的首项是b₁=1，公比为q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值不等式的解法，解|x-m|＜

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可得定义域，并画出图象．
（2）分别求出f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），考查数列{f（a_{n ^）}} 的性质，再求和．
（3）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4得f（q）+f（q²）=3，对q分类讨论，确定q的值．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域是D={x||x-m|＜

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}={x|m-

1

2

＜x＜m+

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，m∈Z}
图象如图所示，
（2）由于an=2+10•(

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)n，所以f(an)=

6   n=1 4   n=2 3   n=3 2    n≥4

，
因此，Sn=

6  n=1 10    n=2 2n+7    n≥3

；
（3）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4得f（q）+f（q²）=3，
当0＜q≤1时，则q²≤q≤1，所以f（q²）≤f（q）≤f（1）=1，
则f（q）+f（q²）≤2＜3，不合题意；
当q＞1时，则q²＞q＞1，所以f（q²）＞f（q）＞f（1）=1
只可能是

f(q)=1 f(q2)=2

，即

1 2 ＜q＜ 3 2 3 2 ＜q2＜ 5 2

，解之得

6

2

＜q＜

3

2

．

点评：本题考查阅读理解、计算、分类讨论思想和能力．正确理解新定义，将问题转化成已有的知识，用已有的方法解决时此类问题共同的策略．