Question

【题目】已知函数，其导函数为

当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；

设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）见解析.

【解析】

当，，由题意，令，则，解得，由此能求出或时，在R上有且只有一个零点

由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立。

当时，，，

，，

由题意得，即，

令，则，解得，

当时，，单调弟增，

当时，，单调递减，

，

当时，，当时，，

则或时，在R上有且只有一个零点．

由，得，

假设存在，

则有，

即，

，

，

，

即，，，

令，则，

两边同时除以，得，即，

令，，

令在上单调递增，且，

对于恒成立，即对于恒成立，

在上单调递增，，

对于恒成立，

不成立，

同理，时，也不成立

不存在实数使得成立．