Question

9．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₆=21且S₁₅=120，则$\frac{{S}_{n}+20}{{a}_{n}+1}$的最小值是$\frac{35}{6}$．

Answer 1

分析 根据题意，求出首项a₁与公差d，写出a_n与S_n，利用基本不等式求$\frac{{S}_{n}+20}{{a}_{n}+1}$的最小值即可．

解答 解：等差数列{a_n}中，S₆=21，S₁₅=120，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{6a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=21}\\{1{5a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=120}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1；
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
S_n=n×1+$\frac{n（n-1）}{2}$×1=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
∴$\frac{{S}_{n}+20}{{a}_{n}+1}$=$\frac{\frac{1}{2}n（n+1）+20}{n+1}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{20}{n+1}$
=$\frac{1}{2}$（n+1）+$\frac{20}{n+1}$-$\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}（n+1）•\frac{20}{n+1}}$-$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{10}$-$\frac{1}{2}$，
当且仅当$\frac{1}{2}$（n+1）=$\frac{20}{n+1}$，即n=$\sqrt{40}$-1时取“=”，
∴应取n=5，此时$\frac{1}{2}$n+$\frac{20}{n+1}$取得最小值$\frac{35}{6}$，
即$\frac{{S}_{n}+20}{{a}_{n}+1}$的最小值为$\frac{35}{6}$．
故答案为：$\frac{35}{6}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．