Question

已知两个函数f(x)＝8x²＋16x－k，g(x)＝2x³＋5x²＋4x，其中k为实数．

(1)对任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；

(2)对任意的x₁∈[－3，3]，x₂∈[－3，3]，都有f(x₁)≤g(x₂)，求k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)，则h(x)＝2x³－3x²－12x＋k．

　　对于“任意的x∈[－3，3]都有f(x)≤g(x)”等价于－3≤x≤3，h(x)的最小值大于或等于零，(x)＝6x²－6x－12＝6(x＋1)(x－2)．

　　于是h(x)的最小值为－45＋k，即－45＋k≥0，k≥45．

　　(2)对于“任意的x₁∈[－3，3]，x₂∈[－3，3]，都有f(x₂)?≤g(x₂)”等价于“f(x)在[－3，3]的最大值小于或等于g(x)在[－3，3]的最小值．”下面求在[－3，3]上的g(x)的最小值．

　　(x)＝6x²＋10x＋4＝2(3x＋2)(x＋1)，列表易得g(x)?在[－3，3]内的最小值为g(－3)＝－21．

　　又f(x)＝8x²＋16x－k＝8(x＋1)²－8－k在[－3，3]内的最大值为f(3)＝120－k．

　　于是120－k≤－21．∴k≥141．

　　思路分析：构造函数h(x)＝g(x)－f(x)，利用导数求解较为简便．