Question

【题目】[选修4-5：不等式选讲]
已知x，y∈R．
（1）若x，y满足 ， ，求证： ；
（2）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：利用绝对值不等式的性质得：

|x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；

（2）证明：因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）

=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）

=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，

∴x4+16y4≥2x3y+8xy3

【解析】（1）|x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；（2）x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0即可．
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．