Question

（2012•东莞二模）如图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动．当曲柄在CB₀位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A₀处，设连杆AB的长为lmm，曲柄CB的长为rmm，l＞r．
（1）若l=300mm，r=80mm，当曲柄CB按顺时针方向旋转角为θ时，连杆的端点A此时离A₀的距离为AA₀=110mm，求cosθ的值；
（2）当曲柄CB按顺时针方向旋转角θ为任意角时，试用l、r、θ表示活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A₀A）

Answer 1

分析：（1）在三角形中，利用余弦定理，可求cosθ的值；
（2）分类讨论，在△ABC中，由余弦定理，结合A₀A=A₀C-AC，即可求得结论．

解答：解：（1）由已知A₀A=110mm时，可得AC=300+80-110=270．
又AB=l=300mm，BC=r=80mm
∴cosθ=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

107

432

；
（2）设AC=x，若θ=0，则A₀A=0；若θ=π，则A₀A=2r
若0＜θ＜π，在△ABC中，由余弦定理，可得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC
∴x²-2r（cosθ）x-（l²-r²）=0
∴x1=(rcosθ+

l2-r2sin2θ

)（mm），x2=(rcosθ-

l2-r2sin2θ

)＜0（不合题意，舍去）
∴A₀A=A₀C-AC=（l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

)（mm）
若π＜θ＜2π，则根据对称性，将上式中的θ改为2π-θ即可，有
A₀A=（l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

)（mm）
∴θ为任意角时，有A₀A=（l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

)（mm）．

点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．