Question

8．如图所示，AC=BC=1，∠ACB-90°，PA⊥平面ABC，CE∥PA，PA=2CE=2，
（1）求证：平面EPB⊥平面APB
（2）求二面角A-BE-P的正弦．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，结合已知可得CE⊥CA，CE⊥CB，CA⊥CB，以CA、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE与平面APB的一个法向量，由两平面的法向量数量积为0可得平面EPB⊥平面APB
（2）分别求出平面ABE与平面PBE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-BE-P的正弦值．

解答 （1）证明：如图，∵PA⊥平面ABC，CE∥PA，
∴CE⊥平面ABC，则CE⊥CA，CE⊥CB，
又∠ACB=90°，即CA⊥CB，
以CA、CB、CE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=1，PA=2CE=2，
∴A（0，0，1），B（0，1，0），E（0，0，1），P（1，0，2）．
设平面PBE的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得y=1，x=-1，
∴$\overrightarrow{m}=（-1，1，1）$．
平面APB的一个法向量$\overrightarrow{n}=（1，1，0）$，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-1×1+1×1=0$，
可得平面EPB⊥平面APB
（2）解：设平面ABE的一个法向量为$\overrightarrow{a}=（x，y，z）$，
由CA=CB=CE=1，可得$\overrightarrow{a}=（1，1，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-1×1+1×1+1×1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$．
设二面角A-BE-P的大小为θ，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{a}＞}$=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．