Question

已知函数f（x）=x²-2|x|．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的定义域是R，再利用偶函数的定义，可以证明函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）利用单调性的证题步骤：取值，作差，变形，定号，下结论即可证明函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．

解答：（Ⅰ）解：是偶函数． 
证明：函数的定义域是R，
∵f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x）
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）解：是单调递增函数．
证明：当x∈（-1，0）时，f（x）=x²+2x
设-1＜x₁＜x₂＜0，则x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．

点评：本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，熟练掌握定义是关键．