Question

已知F₁、F₂分别为椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则△PF₁F₂的面积为

9 7

4

．

Answer 1

分析：根据椭圆方程求得c=

7

＜b，从而判断出点P对两个焦点张角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角顶点在焦点处，再利用椭圆的方程算出点P到F₁F₂轴的距离，利用三角形面积公式加以计算，可得△PF₁F₂的面积．

解答：解：设椭圆短轴的一个端点为M，
∵椭圆

x2

16

+

y2

9

=1中，a=4且b=3，∴c=

a2-b2

=

7

＜b
由此可得∠OMF₁＜45°，得到∠F₁MF₂＜90°，
∴若△PF₁F₂是直角三角形，只能是∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°．
令x=±

7

，得y²=9(1-

7

16

)=

81

16

，解得|y|=

9

4

．
即P到F₁F₂轴的距离为

9

4

，
∴△PF₁F₂的面积S=

1

2

|F₁F₂|×

9

4

=

9 7

4

．
故答案为：

9 7

4

点评：本题给出点P是椭圆上与两个焦点构成直角三角形的点，求△PF₁F₂的面积．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和三角形的面积计算等知识，属于中档题．